El grado del polinomio determina el número de raíces quizizz
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Ecuaciones polinómicasUna ecuación polinómica es una ecuación que tiene múltiples términos formados por números y variables. Los polinomios pueden tener diferentes exponentes. El grado de un polinomio es su mayor exponente. El grado nos indica cuántas raíces se pueden encontrar en una ecuación polinómica. Por ejemplo, si el mayor exponente es 3, la ecuación tiene tres raíces. Las raíces de la ecuación polinómica son los valores de x donde y = 0. Si conocemos las raíces de la ecuación polinómica, podemos usarlas para escribir la ecuación polinómica.
Ejemplo 2: Raíces de un Polinomio CuadráticoConsideremos la ecuación cuadrática del trinomio {eq}x^2+4x-21=0 {/eq}. Aquí, a=1. b=4, y c=2. Sustituyendo en la fórmula cuadrática dada anteriormente produce {eq}dfrac{4\pm (\sqrt{4^2-4(-21)}{2}=dfrac{4\pm (\sqrt{16+84})}{2}=dfrac{4\pm \sqrt{100}{2}=dfrac{-14}{2} o dfrac{6}{2}=-7,o\ 3 {/eq}. Así que las raíces son -7 y 3. Esto también se puede ver gráficamente:
Ejemplo 3: Raíces de Polinomios de Grado SuperiorMira este ejemplo de una ecuación cuártica de tercer grado. {eq}x^3+4x^2+5x+2=0 {/eq}. Sustituyendo {eq}x=1 {/eq} no nos da un cero. Entonces prueba {eq}x=-1 {/eq}, y el resultado es {eq}(-1)^3+4(-1)^2+5(-1)+2=-1+4-5+2=0 {/eq}. Ahora factoricemos (x+1). Dividiendo esto en el polinomio original se obtiene {eq}x^2+3x+2=(x+1)(x+2) {/eq}. Utiliza cualquier método, factorización o fórmula cuadrática, para resolver la ecuación cuadrática resultante. Así, las raíces de este polinomio son las raíces dobles {eq}-1 {/eq} dos veces, y {eq}-2 {/eq}. Hay una raíz doble porque debe haber tres raíces para los polinomios de tercer grado. Representado gráficamente:
Cómo encontrar las raíces de un polinomio
Laura recibió su maestría en Matemáticas Puras de la Universidad Estatal de Michigan, y su licenciatura en Matemáticas de la Universidad Estatal de Grand Valley. Tiene 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias en varias instituciones.
Esta lección repasará las definiciones de polinomios y raíces de polinomios. Luego veremos las raíces múltiples de los polinomios y aprenderemos algunos trucos sobre cómo determinar mucho sobre un polinomio con sólo mirarlo en su forma completamente factorizada.
Raíces de polinomiosSe dice que los magos nunca revelan sus secretos. Sin embargo, Merle, el mago de las matemáticas, ha accedido a contarnos algunos de los suyos. El primer truco de Merle tiene que ver con los polinomios, expresiones algebraicas que suman términos que contienen diferentes potencias de la misma variable. Nos dice que necesitaremos conocer los siguientes datos para entender su truco:
Después de repasar estos datos rápidos, Merle pide a un miembro del público que le dé un polinomio completamente factorizado de su cabeza. Ella da el siguiente polinomio: ¡Abracadabra! En cuestión de segundos, dice que las raíces del polinomio son 1, -3 y 5. Algunos cálculos, que se muestran en la pantalla grande, verifican que ¡Merle tiene razón!
Solución polinómica
– “incluyendo… raíces complejas” – el término “complejo” se está refiriendo a “raíces complejas con una parte imaginaria no nula” (a + bi con b ≠ 0) lo que implica que el conjugado de la raíz compleja también se contará ya que tales raíces complejas vienen en pares conjugados.
Solución: Recuerda que el Teorema Fundamental del Álgebra incluye las raíces complejas con partes imaginarias distintas de cero (que vienen en pares conjugados). Como estas raíces complejas vienen en pares, siempre habrá un número par de tales raíces en total. Es posible que un polinomio de grado par tenga sólo pares de raíces complejas, y ninguna raíz real.
Solución: Un factor de la forma (x – a) se dice que es un factor lineal ya que es de grado 1. Como el grado de este polinomio es cinco, tendremos 5 raíces (ceros) de cinco factores de la forma (x – a). Por tanto, tenemos cinco factores lineales, lo que permite la posibilidad de que a sea un número complejo.
Nota: Como vimos en Álgebra 1, al crear una ecuación, dada cierta información, puedes no estar creando la ÚNICA ecuación posible. En este ejemplo, una ecuación como 2(x3 – 12x – 16) = 0 también poseería estas características.
Buscador de raíces Poly
Comenzamos considerando dos teoremas importantes sobre los polinomios.Teorema Fundamental del ÁlgebraUn polinomio () de grado con coeficientes complejos tiene, cuando
La demostración de este teorema va más allá del alcance de este artículo y requiere conceptos matemáticos más avanzados, como la completitud.
La demostración de este teorema está fuera del alcance de esta explicación y requiere conceptos matemáticos más avanzados, como el de completitud, mientras que la comprensión de este teorema y sus implicaciones es de gran importancia y será el centro de esta explicación.Ejemplo 1: Número de raíces de un polinomio¿Cuántas raíces tiene el polinomio 3-1+4-2?Respuesta Utilizando el teorema fundamental del álgebra, el número de raíces es igual al grado del polinomio. En este caso, nos han dado
un polinomio en forma factorizada. Para hallar el grado, podríamos expandir los paréntesis para encontrar el término de mayor grado. También podemos ahorrarnos algo de trabajo buscando simplemente los términos de mayor grado en cada par de paréntesis;
