Cuándo una matriz tiene infinitas soluciones
Contenidos
- Cuándo una matriz tiene infinitas soluciones
- ¿Cuándo un sistema de ecuaciones tiene una solución única?
- ¿Qué significa que el sistema tiene una solución única?
- Calculadora de solución única de un sistema de ecuaciones lineales
- Si el sistema de ecuaciones no tiene solución, entonces
- Demuestre que la solución es única
Los problemas prácticos en muchos campos de estudio -como la biología, la empresa, la química, la informática, la economía, la electrónica, la ingeniería, la física y las ciencias sociales- pueden reducirse a menudo a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. El álgebra lineal surgió de los intentos de encontrar métodos sistemáticos para resolver estos sistemas, por lo que es natural comenzar este libro estudiando las ecuaciones lineales.
La ecuación lineal es una línea recta (si y no son ambos cero), por lo que dicha ecuación se llama ecuación lineal en las variables y . Sin embargo, a menudo es conveniente escribir las variables como , particularmente cuando hay más de dos variables involucradas. Una ecuación de la forma
se llama ecuación lineal en las variables . Aquí denotan números reales (llamados los coeficientes de , respectivamente) y es también un número (llamado el término constante de la ecuación). Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables se llama sistema de ecuaciones lineales en dichas variables. Por lo tanto,
Un sistema puede no tener ninguna solución, o puede tener una solución única, o puede tener una familia infinita de soluciones. Por ejemplo, el sistema , no tiene solución porque la suma de dos números no puede ser 2 y 3 simultáneamente. Un sistema que no tiene solución se llama inconsistente; un sistema con al menos una solución se llama consistente.
¿Cuándo un sistema de ecuaciones tiene una solución única?
Para las ecuaciones lineales en dos variables dadas, la solución será única para ambas ecuaciones, si y sólo si se cruzan en un único punto.
¿Qué significa que el sistema tiene una solución única?
Una solución única significa una sola solución. Si una ecuación lineal tiene una solución única significa que sólo existe un conjunto de soluciones para la ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales a 1 x + b 1 y = 0 a 2 x + b 2 y = 0 tiene una solución única, si a 1 a 2 ≠ b 1 b 2 .
Calculadora de solución única de un sistema de ecuaciones lineales
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
En esta sección, veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, que consisten en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
Si el sistema de ecuaciones no tiene solución, entonces
El concepto importante aquí es la dependencia lineal frente a la independencia lineal. Como se muestra en los ejemplos publicados por otros, la dependencia lineal se produce cuando se puede demostrar que una ecuación del sistema de ecuaciones es un múltiplo de otra. Esto es, en última instancia, lo que revela la eliminación gaussiana o el cálculo del determinante. En este caso, no hay una solución única para el sistema de ecuaciones.
Esto se puede visualizar graficando las ecuaciones, suponiendo un orden bajo para el sistema. La dependencia lineal implica que dos o más de las rectas obtenidas al graficar el sistema son paralelas o están una encima de la otra. La independencia lineal dará lugar a una gráfica en la que las distintas rectas se cruzan en un punto, siendo ese punto la solución del sistema de ecuaciones.
Demuestre que la solución es única
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales dadas en forma pendiente-intercepto.y = m1x + b1(pendiente = m1 e intercepto y = b1)y = m2x + b2(pendiente = m2 e intercepto y = b2)Si el anterior sistema de ecuaciones lineales tiene solución única o una sola solución, entonces tiene que satisfacer la siguiente condición. m1 ≠ m2Ya sabemos que la gráfica de cualquier ecuación lineal será una recta.Si dos rectas tienen pendientes diferentes (m1 ≠ m2), entonces las rectas se cruzan en un solo punto y el sistema tiene solución única o una sola solución.
En un sistema de ecuaciones con dos variables, que las pendientes no sean iguales (m1 ≠ m2). En un sistema de dos ecuaciones lineales, si las pendientes no son iguales (m1 ≠ m2), entonces el sistema tiene solución única o sólo una solución. No importa si hay una misma intersección en y o diferentes intersecciones en y. Si hay una misma intersección en y, digamos ‘b’, la solución única es (0, b)
Nota :Si el sistema de ecuaciones lineales está dado en forma general o en forma estándar, escríbalas en forma de intersección de pendientes y proceda como se explicó anteriormente.Forma general :a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0Forma estándar :a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2
