Calculadora de matrices inversas
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Siempre que he necesitado encontrar la inversa de una matriz, me han dicho que compruebe si su determinante es distinto de cero. Sin embargo, una vez apliqué directamente el método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz cuyo determinante era cero. La matriz inversa que obtuve tenía un aspecto bastante normal como cualquier otra (si no había ningún error).
Una de las propiedades que definen la función determinante es que si las filas de una matriz nxn no son linealmente independientes, entonces su determinante tiene que ser igual a cero. De hecho, la función determinante se construye en base a varias propiedades deseadas (una de ellas es que si las filas son dependientes, su determinante es cero).
Dado que las matrices son simplemente representaciones de mapas lineales con respecto a una base del dominio y el codominio, la cuestión de si una matriz es invertible es esencialmente la misma que si una función de un conjunto a otro conjunto es invertible o no (siendo la función el mapa lineal). Una función es invertible si y sólo si es sobreyectiva e inyectiva (es decir, biyectiva). Sucede que cuando se traduce esto al álgebra lineal para mapas lineales, se obtiene que el determinante de una matriz es distinto de cero. He aquí un esbozo de la explicación completa.
¿Qué matriz no tiene inversa?
Si una matriz no tiene inversa, su determinante es igual a 0. Una matriz cuyo determinante es 0 se llama matriz singular.
¿Cuándo no se puede invertir una matriz?
Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá inversa; se dice entonces que la matriz es singular. Sólo las matrices no singulares tienen inversa.
Determinante de una matriz
Sabemos que la inversa multiplicativa de un número real [latex]a[/latex] es [latex]{a}^{-1}[/latex] y [latex]a{a}^{-1}={a}^{-1}a=\left(\frac{1}{a}\right)a=1[/latex]. Por ejemplo, [latex]{2}^{-1}=\frac{1}{2}[/latex] y [latex]\left(\frac{1}{2}\right)2=1[/latex]. La inversa multiplicativa de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz [latex]A[/latex] y su inversa [latex]{A}^{-1}[/latex] es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices identidad por [latex]{I}_{n}[/latex] donde [latex]n[/latex] representa la dimensión de la matriz. Las ecuaciones siguientes son las matrices de identidad para una matriz [latex]2 veces \text{}2[/latex] y [latex]3 veces \text{}3[/latex], respectivamente.
Una matriz que tiene una inversa multiplicativa se llama una matriz invertible. Sólo una matriz cuadrada puede tener una inversa multiplicativa, ya que la reversibilidad, [latex]A{A}^{-1}={A}^{-1}A=I[/latex], es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si [latex]A[/latex] es invertible, entonces [latex]{A}^{-1}[/latex] es única. Vamos a ver dos métodos para encontrar la inversa de una matriz [latex]2 veces \tex2[/latex] y un tercer método que se puede utilizar tanto en [latex]2 veces \tex2[/latex] como en [latex]3 veces \tex3[/latex] matrices.
Matriz inversa de Numpy
Este artículo ha sido redactado por Mario Banuelos, PhD. Mario Banuelos es profesor asistente de matemáticas en la Universidad Estatal de California, Fresno. Con más de ocho años de experiencia docente, Mario está especializado en biología matemática, optimización, modelos estadísticos para la evolución del genoma y ciencia de los datos. Mario es licenciado en Matemáticas por la Universidad Estatal de California, Fresno, y tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de California, Merced. Mario ha enseñado tanto en la escuela secundaria como en la universidad.
¿Tienes problemas con el álgebra? Encontrar la inversa de una matriz es la clave para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Además, las operaciones inversas proporcionan una forma fácil de simplificar problemas difíciles en general. Por ejemplo, si un problema te pide que dividas por una fracción, puedes multiplicar más fácilmente por su recíproco. Se trata de una operación inversa básica. Del mismo modo, dado que no existe un operador de división para las matrices, tienes que multiplicar por la matriz inversa. Hemos elaborado una guía paso a paso para calcular la inversa de una matriz de 3×3 a mano, utilizando determinantes y reducción lineal de filas. Además, te enseñaremos a encontrar la inversa con una calculadora gráfica avanzada.
Inversa de una matriz de 3×3
Utilizar abs(det(M)) > umbral como forma de determinar si una matriz es invertible es una muy mala idea. He aquí un ejemplo: considere la clase de matrices cI, donde I es la matriz identidad y c es una constante. Si c = 0,01 e I es 10 x 10, entonces det(cI) = 10^-20, pero (cI)^-1 existe con toda seguridad y es simplemente 100I. Si c es lo suficientemente pequeño, det() se desbordará y devolverá 0 aunque la matriz sea invertible. Si desea utilizar determinantes para comprobar la invertibilidad, compruebe en su lugar si el módulo del determinante logarítmico es finito utilizando determinant().
Además de la solución dada por @josilber en los comentarios (es decir, abs(det(M)) > 1e-10) también puedes usar solve(M) %*% M para una matriz cuadrada o ginv en el paquete MASS dará la inversa generalizada de una matriz.
