Como saber si 3 vectores son linealmente dependientes

Comprobar si los vectores son linealmente independientes python

A veces, la amplitud de un conjunto de vectores es “más pequeña” de lo que se espera por el número de vectores, como en la imagen siguiente. Esto significa que (al menos) uno de los vectores es redundante: puede eliminarse sin afectar al tramo. En la presente sección, formalizamos esta idea en la noción de independencia lineal.

Nótese que la dependencia lineal y la independencia lineal son nociones que se aplican a una colección de vectores. No tiene sentido decir cosas como “este vector depende linealmente de estos otros vectores” o “esta matriz es linealmente independiente”.

En cuanto al primer hecho, hay que tener en cuenta que el vector cero es un múltiplo de cualquier vector, por lo que es colineal con cualquier otro vector. Por lo tanto, los hechos 1 y 2 son consistentes entre sí.En esta subsección damos dos criterios para que un conjunto de vectores sea linealmente independiente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la definición real está por encima.

Comprobar la independencia lineal de los vectores

En esencia, el mundo que nos rodea es un espacio vectorial y, a veces, es útil limitarse a una sección más pequeña del mismo. Por ejemplo, una esfera es una forma tridimensional, pero un círculo sólo existe en dos dimensiones, así que ¿por qué molestarse en hacer cálculos en tres?

La dependencia lineal nos permite hacer precisamente eso: trabajar en un espacio más pequeño, el llamado tramo de los vectores en cuestión. Pero no te preocupes si hasta ahora te han parecido confusas todas estas palabras rebuscadas. En un segundo, vamos a repasar todo esto juntos.

Bueno, digamos que esta respuesta no te dará una puntuación de 100 en un examen. Formalmente, un vector es un elemento del espacio vectorial. Fin de la definición. Bastante fácil. Podemos terminar de estudiar. Ahora todo está claro.

Pero, ¿qué es entonces un espacio vectorial? De nuevo, la definición matemática deja mucho que desear: es un conjunto de elementos con algunas operaciones (suma y multiplicación por escalares), que debe tener varias propiedades específicas. Así que, ¿por qué no dejamos el formalismo y nos fijamos en algunos ejemplos reales?

Ejemplos de vectores linealmente independientes

Sea A = { v 1, v 2, …, v r } una colección de vectores de Rn . Si r > 2 y al menos uno de los vectores de A puede escribirse como una combinación lineal de los demás, se dice que A es linealmente dependiente. La motivación de esta descripción es sencilla: Al menos uno de los vectores depende (linealmente) de los demás. En cambio, si ningún vector de A se dice que es un conjunto linealmente independiente. También es bastante común decir que “los vectores son linealmente dependientes (o independientes)” en lugar de “el conjunto que contiene estos vectores es linealmente dependiente (o independiente)”.

Si ninguno de estos vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros dos, entonces los vectores son independientes; en caso contrario, son dependientes. Si, por ejemplo, v 3 fuera una combinación lineal de v 1 y v 2, entonces existirían los escalares k 1 y k 2 tales que k v + k 2 v 2b = v 3. Esta ecuación es la siguiente

Sin embargo, este es un sistema inconsistente. Por ejemplo, al restar la primera ecuación de la tercera se obtiene k 1 = -4, y al sustituir este valor en la primera o en la tercera ecuación se obtiene k 2 = 12. Sin embargo, (k 1, k 2) = (-4, 12) no satisface la segunda ecuación. La conclusión es que v 3 no es una combinación lineal de v 1 y v 2. Un argumento similar mostraría que v 1 no es una combinación lineal de v 2 y v 3 y que v 2 no es una combinación lineal de v 1 y v 3. Por lo tanto, estos tres vectores sí son linealmente independientes.

Comprobar si los vectores son linealmente independientes

Explicación: Dado que rango A + espacio nulo dimensional de A = número total de columnas, podemos determinar el rango A = número total de columnas-espacio nulo dimensional de A. Utilizando la información dada en la pregunta podemos resolver el rango A:

Explicación: Dado que el rango A + el espacio nulo dimensional de A = el número total de columnas, podemos determinar el rango A = el número total de columnas-el espacio nulo dimensional de A. Usando la información dada en la pregunta podemos resolver el rango A:

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