Cómo determinar si cuatro puntos se encuentran en el mismo plano
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Los tres puntos del espacio que se encuentran en el mismo plano se denominan puntos coplanarios. Aprende más sobre la definición de puntos coplanares, descubre cuándo un conjunto de cuatro puntos en un plano es también un punto coplanar y descubre la importancia de los puntos coplanares.
Puntos coplanarios: DefiniciónLos puntos coplanarios son tres o más puntos que se encuentran en el mismo plano. Recordemos que un plano es una superficie plana que se extiende sin fin en todas las direcciones. Normalmente se muestra en los libros de texto de matemáticas como una figura de 4 lados. Puedes ver que los puntos A, B, C y D son todos puntos coplanares en un mismo plano:
El concepto de puntos coplanares puede parecer sencillo, pero a veces las preguntas al respecto pueden resultar confusas. Con un poco de conocimientos de geometría y algunos ejemplos del mundo real, podrás dominar incluso las preguntas más difíciles sobre los puntos coplanares. Tres puntos cualesquiera en un espacio tridimensional determinan un plano. Esto significa que cualquier grupo de tres puntos determina un plano, aunque no parezca que todos los puntos estén situados en la misma superficie plana. Para ver esto, vamos a cambiar ligeramente nuestra imagen original. En esta nueva imagen, el plano tiene ahora una línea que lo atraviesa. La parte sólida de la línea está por encima del plano, y la parte discontinua de la línea está por debajo del plano. Puedes hacer tu propio modelo en casa pasando una aguja de punto o de coser por una ficha. Podemos ver que los puntos A, B, C y D siguen siendo puntos coplanares. El punto E no es coplanario con los cuatro puntos originales. Pero si elijo cualquier grupo de tres puntos, incluso un grupo que contenga el punto E, esos tres puntos serán coplanarios. La razón es la afirmación anterior: tres puntos cualesquiera del espacio tridimensional determinan un plano.
¿Cómo se demuestra que 4 puntos son coplanarios?
Coplanaridad de cuatro vectores
Una condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos A(a ),B(b ),C(c ),D(d ) sean coplanarios es que, existan cuatro escalares x,y,z,t no todos nulos tales que xa +yb +zc +td =0 y x+y+z+t=0.
¿Cómo se sabe si 4 puntos son colineales?
Cuatro puntos son colineales si tres de ellos se encuentran en la misma línea.
Ejemplo de puntos no coplanares
Una igualdad triangular puede verse como un caso especial de la fórmula de Heron para calcular el contenido de un simplex de n dimensiones a partir de sus n + 1 vértices. El contenido de un simplex de n dimensiones es 1/n! veces las “alturas” de los vértices (tomados en cualquier secuencia lineal) sobre el subespacio que contiene los vértices anteriores. Imagina que multiplicas una base de un triángulo por su altura ( y con 1/2) para obtener un área de triángulo, luego multiplicas esta área por la altura (y 1/3) de un tetraedro para obtener su volumen, y así sucesivamente.
Obsérvese que cualquier vértice de un simplex en un espacio k-dimensional puede considerarse como el vértice de una “pirámide” sobre una base (k-1)-dimensional definida por los otros vértices. Si Vk-1 denota el contenido de la base y h la distancia perpendicular del vértice al subespacio que contiene la base, el contenido Vk de la pirámide viene dado por
donde h1 es simplemente la distancia entre los dos primeros vértices, h2 es la altura del tercer vértice sobre la línea que contiene esos dos vértices, h3 es la altura del cuarto vértice sobre el plano que contiene los tres primeros vértices, y así sucesivamente. Así, el contenido de un simplex de n dimensiones es 1/n! veces las “alturas” de los vértices (tomados en cualquier secuencia lineal) sobre el subespacio que contiene los vértices anteriores.
Cómo saber si tres puntos son coplanarios
En geometría hay dos palabras que empiezan por “co” y que suenan de forma similar y confusa. Son colineal y coplanar. En cada una de estas palabras, “co” significa juntos, “lineal” significa que se encuentran en una línea y “coplanar” significa que se encuentran en un plano. Por lo tanto, colineal significa que juntos se encuentran en una línea y coplanar significa que juntos se encuentran en un plano.
En este artículo aprenderemos más sobre los puntos coplanarios y las rectas coplanarias con algunos ejemplos. Además, vamos a ver cómo determinar si los puntos y las rectas son coplanarios en geometría de coordenadas.
Los puntos que se encuentran en el mismo plano se llaman puntos coplanarios y, por tanto, los puntos que NO se encuentran en el mismo plano se llaman puntos no coplanarios. Sabemos que dos puntos en 2D siempre pueden pasar por una recta y, por tanto, dos puntos cualesquiera son colineales. Del mismo modo, tres puntos en 3D siempre pueden pasar por un plano y, por tanto, 3 puntos cualesquiera son siempre coplanares. Pero cuatro o más puntos en 3D pueden no ser coplanarios. Por lo tanto, definimos los puntos coplanares y no coplanares de la siguiente manera con respecto al siguiente ejemplo:
Cómo determinar si los puntos son coplanarios
home / geometría / línea / coplanarCoplanarLos objetos son coplanares si se encuentran en el mismo plano. Normalmente pensamos en estos objetos como puntos o líneas, o formas 2D. Los puntos, líneas o formas no son coplanares si no se encuentran en el mismo plano.
En el diagrama anterior, los puntos A, B y C son colineales y se encuentran en el plano M, por lo que son colineales y coplanares (se pueden dibujar infinitos planos que contengan la línea AB). Los puntos A, B, C y D se encuentran en el plano M, por lo que son coplanares pero no colineales, ya que no se encuentran en la misma línea.
En el diagrama anterior, AD interseca los planos paralelos M y N en los puntos A y D. Los puntos A, B, C están en el plano M y los puntos D, E, F, G y H están en el plano N, por lo que no son coplanares. Las líneas EF y GH se encuentran en el plano N por lo que son coplanarias. Las líneas EF, GH y AD no se encuentran en el mismo plano por lo que no son coplanarias.
