Independencia lineal de las funciones
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A veces, el tramo de un conjunto de vectores es “más pequeño” de lo que se espera por el número de vectores, como en la imagen siguiente. Esto significa que (al menos) uno de los vectores es redundante: puede eliminarse sin afectar al tramo. En la presente sección, formalizamos esta idea en la noción de independencia lineal.
Nótese que la dependencia lineal y la independencia lineal son nociones que se aplican a una colección de vectores. No tiene sentido decir cosas como “este vector depende linealmente de estos otros vectores” o “esta matriz es linealmente independiente”.
En cuanto al primer hecho, hay que tener en cuenta que el vector cero es un múltiplo de cualquier vector, por lo que es colineal con cualquier otro vector. Por lo tanto, los hechos 1 y 2 son coherentes entre sí.En esta subsección damos dos criterios para que un conjunto de vectores sea linealmente independiente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la definición real está por encima.
¿Qué hace que dos vectores sean linealmente independientes?
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si la única combinación lineal de los vectores que es igual a 0 es la combinación lineal trivial (es decir, todos los coeficientes = 0). Un conjunto de un solo elemento {v} es linealmente independiente si y sólo si v ≠ 0.
¿Cómo se sabe si dos soluciones son linealmente independientes?
Sean f(t) y g(t) funciones diferenciables. Entonces se llaman linealmente dependientes si hay constantes no nulas c1 y c2 con c1f(t)+c2g(t)=0 para todo t. En caso contrario se llaman linealmente independientes.
Independencia lineal de Numpy
Explicación: Dado que rango A + espacio nulo dimensional de A = número total de columnas, podemos determinar el rango A = número total de columnas-espacio nulo dimensional de A. Usando la información dada en la pregunta podemos resolver el rango A:
Explicación: Dado que el rango A + el espacio nulo dimensional de A = el número total de columnas, podemos determinar el rango A = el número total de columnas-el espacio nulo dimensional de A. Usando la información dada en la pregunta podemos resolver el rango A:
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Calculadora de espacio vectorial
Sea A = { v 1, v 2, …, v r } una colección de vectores de Rn . Si r > 2 y al menos uno de los vectores de A puede escribirse como una combinación lineal de los demás, se dice que A es linealmente dependiente. La motivación de esta descripción es sencilla: Al menos uno de los vectores depende (linealmente) de los demás. En cambio, si ningún vector de A se dice que es un conjunto linealmente independiente. También es bastante común decir que “los vectores son linealmente dependientes (o independientes)” en lugar de “el conjunto que contiene estos vectores es linealmente dependiente (o independiente)”.
Si ninguno de estos vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros dos, entonces los vectores son independientes; en caso contrario, son dependientes. Si, por ejemplo, v 3 fuera una combinación lineal de v 1 y v 2, entonces existirían los escalares k 1 y k 2 tales que k v + k 2 v 2b = v 3. Esta ecuación es la siguiente
Sin embargo, este es un sistema inconsistente. Por ejemplo, al restar la primera ecuación de la tercera se obtiene k 1 = -4, y al sustituir este valor en la primera o en la tercera ecuación se obtiene k 2 = 12. Sin embargo, (k 1, k 2) = (-4, 12) no satisface la segunda ecuación. La conclusión es que v 3 no es una combinación lineal de v 1 y v 2. Un argumento similar demostraría que v 1 no es una combinación lineal de v 2 y v 3 y que v 2 no es una combinación lineal de v 1 y v 3. Por lo tanto, estos tres vectores sí son linealmente independientes.
Calculadora de independencia lineal
Cuando se trabaja con un conjunto de vectores es importante saber cómo están relacionados entre sí. Hay dos posibilidades, un conjunto de vectores puede ser linealmente dependiente o linealmente independiente, y estas características pueden a su vez permitirnos saber si estamos trabajando en un plano, o en un subespacio, por lo tanto, es el momento de estudiar estas definiciones.
La razón detrás de esto es que si uno de los términos de x no es cero, significa que se puede reescribir la ecuación resolviendo para uno de los vectores, por lo tanto, resultando en un vector que puede ser escrito en términos de los otros. Esto es lo que llamamos dependencia lineal de los vectores, lo que significa que en un conjunto de vectores se puede reescribir uno como combinación lineal de los otros.
Observa que esto es lo mismo que el proceso representado en la ecuación 1. Y para que podamos resolver los componentes utilizamos una matriz aumentada y los tres tipos de operaciones con filas de matrices (también conocidas simplemente como reducción de filas) hasta encontrar los pivotes:
Esto es lo que llamamos la prueba de independencia lineal. Si quieres ver una aproximación diferente a la forma de probar la dependencia lineal de los vectores, puedes echar un vistazo al enlace incrustado para un repaso extra antes de completar los siguientes ejemplos.
