Como saber si un vector pertenece a un subespacio

Como saber si un vector pertenece a un subespacio

Cómo determinar si w es un subespacio de v

El tramo de un conjunto de vectores descrito en la definición 9.2.3 es un ejemplo de subespacio. El siguiente resultado fundamental dice que los subespacios son subconjuntos de un espacio vectorial que son a su vez espacios vectoriales.

Sea \(W\) una colección no vacía de vectores en un espacio vectorial \(V\). Entonces \(W\) es un subespacio si y sólo si \(W\) satisface los axiomas del espacio vectorial, utilizando las mismas operaciones que las definidas en \(V\).

Supongamos en primer lugar que \(W\) es un subespacio. Es obvio que todas las leyes algebraicas se cumplen en \(W\) porque es un subconjunto de \(V\) y se cumplen en \(V\). Por lo tanto, \ (\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}\) junto con los otros axiomas. ¿Contiene \(W\) a \Nvec{0}?\N-Sí porque contiene a \N(0\vec{u}=\vec{0}\N). Véase el teorema 9.1.1.

¿Están definidas las operaciones de \(V\) en \(W?\) Es decir, cuando se suman vectores de \(W\) se obtiene un vector en \(W?\) Cuando se multiplica un vector en \(W\) por un escalar, se obtiene un vector en \(W?\) Sí. Esto está contenido en la definición. ¿Todo vector en \(W\) tiene una inversa aditiva? Sí, por el teorema 9.1.1, ya que \N(-\vec{v}=\a la izquierda( -1\a la derecha) \vec{v}\a), que se da que está en \a(W\a) siempre que \a(\vec{v}\a esté en W\a).

Cómo determinar si un subconjunto es un subespacio

es también un vector en V, porque su segunda componente es tres veces la primera. De hecho, se puede demostrar fácilmente que la suma de dos vectores cualesquiera en V dará lugar a un vector que vuelve a estar en V. Por tanto, se dice que el conjunto V es cerrado bajo adición. A continuación, consideremos un múltiplo escalar de u, por ejemplo,

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Cualquier subconjunto de R n que satisfaga estas dos propiedades -con las operaciones habituales de adición y multiplicación escalar- se denomina subespacio de Rn o espacio vectorial euclidiano. El conjunto V = {(x, 3 x): x ∈ R} es un espacio vectorial euclidiano, un subespacio de R2.

Para que un subconjunto de R 3 sea un subespacio de R 3, deben cumplirse las dos propiedades de cierre (1) y (2). Sin embargo, observe que mientras u = (1, 1, 1) y v = (2, 4, 8) están ambos en B, su suma, (3, 5, 9), claramente no lo está. Como B no es cerrado bajo adición, B no es un subespacio de R 3.

Para que un vector 4 esté en C, deben cumplirse exactamente dos condiciones: A saber, su segunda componente debe ser cero, y su cuarta componente debe ser -5 veces la primera. Elegir vectores concretos en C y comprobar su cierre bajo adición y multiplicación escalar nos llevaría a conjeturar que C es, efectivamente, un subespacio. Sin embargo, no importa cuántos ejemplos concretos proporcione que demuestren que se cumplen las propiedades de cierre, el hecho de que C es un subespacio sólo se establece cuando se da una prueba general. Así que dejemos que u = (u1, 0, u3, -5 u1) y v = (v1, 0, v3, -5v1) sean vectores arbitrarios en C. Entonces su suma,

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Ejemplos de pruebas de subespacios

Un subespacio resulta ser exactamente lo mismo que un span, salvo que no tenemos en mente un conjunto concreto de vectores de span. Este cambio de perspectiva es bastante útil, ya que es fácil producir subespacios que no son obviamente tramos. Por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación x

El espacio de columnas se define como un span, por lo que es un subespacio según el teorema anterior. Tenemos que comprobar que el espacio nulo es realmente un subespacio. En la sección 2.4 ya vimos que el conjunto de soluciones de Ax

por lo que es un buen ejemplo de un tipo de subespacio que podemos definir sin ningún conjunto de extensión en mente. En otras palabras, es más fácil demostrar que el espacio nulo es un subespacio que demostrar que es un span -véase la prueba anterior-. Sin embargo, para hacer cálculos, suele ser necesario encontrar un conjunto de extensión.

A la inversa, el conjunto de soluciones de cualquier sistema de ecuaciones homogéneo es precisamente el espacio nulo de la matriz de coeficientes correspondiente.

Qué es un subespacio

Lo primero que tenemos que hacer para comprender los conceptos de subespacios en álgebra lineal es entender completamente el concepto de RnR^{n}Rn, o lo que se llama: el espacio de coordenadas reales de n dimensiones. Para ello, hay algunos términos básicos que hay que conocer al menos, como son: variables, dimensión y espacio de coordenadas. Aclaremos primero estos términos en los siguientes párrafos.

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Ya hemos utilizado la palabra “variable” en muchas lecciones, dentro o fuera de este curso, el concepto de variable se utiliza en todas las matemáticas. Para el álgebra lineal, al hablar de vectores, sabemos que una variable define la dirección de una de las componentes de un vector según los planos de coordenadas geométricas. Cualquier coeficiente asociado a una variable define la magnitud de la componente de ese vector en particular en la dirección de esa variable.

Por ejemplo: Si vamos a tener un vector v‾{overline{v}v con tres variables diferentes, que definimos que están en la dirección de las coordenadas del espacio geométrico tridimensional x^\hat{x}x^, y^\hat{y}y^,z^\hat{z}z^:

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